Многочлены Чебышева с ограничением на расположение нулей
Аннотация
Рассмотрена задача Чебышева о многочленах степени n, наименее уклоняющихся от нуля относительно Lp-средних на компакте K, не обращающихся в нуль в открытом множестве G. Для случая Conv K ⊂ G проведена редукция задач к аналогичным задачам для множества алгебраических многочленов, имеющих все нули на границе ∂G
множества G.
В случае K = [−1, 1] и G = {z ∈ C : |z| < R} получено точное решение при:
1) p = 0, R ⩾ 1;
2) p = ∞, R ⩾ ρn, где ρn — определённая величина такая, что ρ2
n ⩽ (√5 − 1)/2;
3) 0 < p < ∞, R ⩾ 1, n четное.
При 0 < p < ∞, R ⩾ 1 получены двусторонние оценки величины наименьшего уклонения.
Вводится понятие постоянной Чебышева τ (K, G) компакта K относительно открытого множества G, получены двусторонние оценки величины τ (K, G) и точные значения в некоторых случаях.
множества G.
В случае K = [−1, 1] и G = {z ∈ C : |z| < R} получено точное решение при:
1) p = 0, R ⩾ 1;
2) p = ∞, R ⩾ ρn, где ρn — определённая величина такая, что ρ2
n ⩽ (√5 − 1)/2;
3) 0 < p < ∞, R ⩾ 1, n четное.
При 0 < p < ∞, R ⩾ 1 получены двусторонние оценки величины наименьшего уклонения.
Вводится понятие постоянной Чебышева τ (K, G) компакта K относительно открытого множества G, получены двусторонние оценки величины τ (K, G) и точные значения в некоторых случаях.