О решётках голов максимальных графических разбиений

Аннотация

В работе рассмотрены разбиения целых неотрицательных чисел и изучены некоторые детали строения решёток разбиений. Решётка разбиений задаётся отношением доминирования, которое определяется как покомпонентное доминирование частичных сумм разбиений. Доказаны четыре леммы и два следствия, в которых описаны различные критерии доминирования. Особое внимание уделено графическим разбиениям. Графическими называются разбиения, которые задаются степенями вершин графов. Исследованы некоторые детали строения множества всех графических разбиений числа, которое образует нижнюю подполурешётку решётки всех разбиений числа. Проведено исследование множества максимальных графических разбиений, лежащих над данным в полурешётке графических разбиений числа. Для исследования написана компьютерная программа на языке Python, позволяющая проверять гипотезы для разбиений небольших чисел. Основной результат работы —теорема, описывающая точное строение множества всех максимальных графических разбиений, доминирующих данное и имеющих такой же вес. В ней доказано, что множество таких разбиений является объединением интервалов решётки разбиений. Приведена общая формула, позволяющая вычислять наименьший и наибольший элементы каждого такого интервала, что позволяет породить всё множество. Кроме того, в работе выведено ограничение сверху количества таких интервалов