Альфа-множества в двумерном евклидовом пространстве и их свойства

Аннотация

В данной работе проведено сравнение α-множеств с известными обобщениями выпуклых множеств. Приведено доказательство двух "неестественных" для таких множеств свойств. А именно, во-первых, приведён пример несамопересекающейся кривой, односвязный участок которой является "более выпуклым" в терминах α-множеств, чем вся кривая целиком. Во-вторых, показано, что при сколь-угодно малом α существует α-кривая, непредставимая в виде графика функции. Также были рассмотрены звездные множества, имеющие конечный коэффициент вогнутости Мордала, и паравыпуклые множества Майкла. Доказана теорема о соотношении коэффициента вогнутости Мордала и величины параметра невыпуклости α. Выдвинута гипотеза, что любое α-множество с параметром α∈[0,π] одновременно является паравыпуклым множеством по Майклу с соответствующим коэффициентом выпуклости. И, наконец, доказан аналог леммы Минковского для невыпуклых множеств в R2.